São duas coisas diferentes.
A ADSE é um seguro de grupo voluntário. Existem outros, a ADSE é o que tem mais aderentes.
O SNS é diferente. Todos têm direito, incluindo portugueses que não pagam (por não terem rendimentos), estrangeiros residentes em Portugal (e até alguns que chegam cá ilegalmente, ao fim de 90 dias!!), portugueses residentes no estrangeiro (alguns aproveitam selectivamente quando cá vêm de férias).
Nalguns países é diferente.
Por exemplo, na Alemanha, tens que contribuir para seguro de saúde: desconto no salário (mínimo 7,3%, pagos pelo trabalhador e pelo patrão, mas só até um limite de 4350 euros de ordenado). Quem estiver desempregado pode prolongar o acesso, se estiver em formação ou aceitar estágios (estágios pagos, apenas 400 euros por mês, criados pelo social-democrata Gerhard Schröder, que permitem formar os desempregados que, ao fim de 2-3 anos, conseguem empregos a ganhar 2000 ou 3000 euros. Foram muito criticados, mas são atualmente considerados os grandes responsáveis pelo baixo desemprego alemão).
Os menores, as domésticas, filhos que estudam e filhos deficientes estão incluídos.
Grande parte pode optar por sair do sistema público e pagar um seguro privado (podem optar os que ganham acima de um valor estabelecido, os que trabalham em part time e ganham menos, os FPs, os empresários, os liberais e os artistas). Se forem empregados, o patrão tem que pagar uma parte do seguro. Esse seguro inclui tudo o que o sistema público cobre e extras variáveis.