Diferenças entre edições de "Desigualdade de Chebyshev"
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==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
Seja <tex>\left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\,</tex> um espaço de medida, <tex>f:X\to [-\infty,+\infty]\,</tex> uma função mensurável, <tex>g:Im(f)\to[-\infty,+\infty]\,</tex> uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então: | Seja <tex>\left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\,</tex> um espaço de medida, <tex>f:X\to [-\infty,+\infty]\,</tex> uma função mensurável, <tex>g:Im(f)\to[-\infty,+\infty]\,</tex> uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então: | ||
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:<tex>\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\right\}\right) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.</tex> | :<tex>\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\right\}\right) \leq {1\over g(t)} \int_X g\circ f\, d\mu.</tex> | ||
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Um caso particular de especial interesse acontece quando substituimos <tex>f\,</tex> por <tex>|f-c|\,</tex> e tomamos <tex>g:[0,\infty]\to\mathbb{R}\,</tex> como <tex>g(x)=x^2\,</tex>: | Um caso particular de especial interesse acontece quando substituimos <tex>f\,</tex> por <tex>|f-c|\,</tex> e tomamos <tex>g:[0,\infty]\to\mathbb{R}\,</tex> como <tex>g(x)=x^2\,</tex>: | ||
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:<tex>\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,|f(x)-c|\geq t\right\}\right) \leq {1\over t^2} \int_X |f-c|^2\, d\mu.</tex> | :<tex>\mu\left(\left\{x\in X\,:\,\,|f(x)-c|\geq t\right\}\right) \leq {1\over t^2} \int_X |f-c|^2\, d\mu.</tex> | ||
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Se <tex>f\,</tex> representa uma [[distribuição de probabilidade]] com [[média]] <tex>\mu\,</tex> e [[desvio padrão]] <tex>\sigma\,</tex> então: | Se <tex>f\,</tex> representa uma [[distribuição de probabilidade]] com [[média]] <tex>\mu\,</tex> e [[desvio padrão]] <tex>\sigma\,</tex> então: | ||
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:<tex>\Pr(\left|X-\mu\right|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}\,</tex> | :<tex>\Pr(\left|X-\mu\right|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}\,</tex> | ||
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==Demonstração== | ==Demonstração== | ||
Defina <tex>A_t:=\{x\in X: f(x)\geq t\}\,</tex> e seja <tex>\Chi_{A_t}\,</tex> a função indicadora de <tex>A_t\,</tex> em <tex>[-\infty,+\infty]\,</tex>. Então: | Defina <tex>A_t:=\{x\in X: f(x)\geq t\}\,</tex> e seja <tex>\Chi_{A_t}\,</tex> a função indicadora de <tex>A_t\,</tex> em <tex>[-\infty,+\infty]\,</tex>. Então: | ||
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:<tex>0\leq g(t) 1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f\,</tex> | :<tex>0\leq g(t) 1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f\,</tex> | ||
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E, portanto: | E, portanto: | ||
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:<tex>g(t)\mu(A_t)=\int_X g(t)1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t} g\circ f\,d\mu\leq\int_X g\circ f\,d\mu\,</tex> | :<tex>g(t)\mu(A_t)=\int_X g(t)1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t} g\circ f\,d\mu\leq\int_X g\circ f\,d\mu\,</tex> | ||
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E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por <tex>g(t)\,</tex>. | E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por <tex>g(t)\,</tex>. | ||
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Edição atual desde as 16h33min de 28 de outubro de 2008
Em matemática, a desigualdade de Chebyshev é um resultado da teoria da medida com grandes aplicações na teoria das probabilidades. O nome é dado´em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração ao teorema.
Enunciado
Seja um espaço de medida, uma função mensurável, uma função mensurável não-negativa e não decrescente. Então:
Um caso particular de especial interesse acontece quando substituimos por e tomamos como :
Se representa uma distribuição de probabilidade com média e desvio padrão então:
Demonstração
Defina e seja a função indicadora de em . Então:
E, portanto:
E o resultado segue dividindo a desigualdade obtida por .
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