Diferenças entre edições de "Medida"
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Os conjuntos de ''X'' chamam-se '''conjuntos mensuráveis'''. | Os conjuntos de ''X'' chamam-se '''conjuntos mensuráveis'''. | ||
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− | *<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção | + | *<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de ''X'', disjuntos dois a dois. |
− | Em especial, a soma desta | + | Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente. |
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*Seja <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,</tex> uma [[função complexa]] [[integral de Lebesgue|Lebesgue integrável]]. Então | *Seja <tex>f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\,</tex> uma [[função complexa]] [[integral de Lebesgue|Lebesgue integrável]]. Então | ||
:<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex> | :<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex> | ||
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Revisão das 16h55min de 9 de janeiro de 2008
Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.
Medida positiva
Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
- , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.
São conseqüências diretas da definição de medida postiva:
- Positividade:
- Monotonicidade
Exemplos
-
Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.
- Medida de Dirac:
-
Medida complexa
Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
- , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.
Exemplos
- Seja uma função complexa Lebesgue integrável. Então
- define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de
Propriedades
Algumas medidas possuem propriedades adicionais:
- Medida completa:
- Se tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
- Medida invariante por translações:
- , onde
(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
- Medida de Borel:
- Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
- Regularidade interior:
- e são compactos.
- Regularidade exterior:
- e são abertos.
- Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.
- Medida finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
- Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita
- , para todo compacto
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