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'''Kriging''' pode ser entendido como uma ''predição linear'' ou uma forma da [[Inferência bayesiana]]. Parte do princípio que ''pontos próximos no espaço tendem a ter valores mais parecidos do que pontos mais afastados''. | '''Kriging''' pode ser entendido como uma ''predição linear'' ou uma forma da [[Inferência bayesiana]]. Parte do princípio que ''pontos próximos no espaço tendem a ter valores mais parecidos do que pontos mais afastados''. | ||
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Considera-se o método de '''Kriging''' do tipo '''BLUE''' ('''B'''est '''L'''inear '''U'''nbiased '''E'''stimator - Melhor Estimador Linear não-Viciado): é linear porque as suas estimativas são combinações lineares ponderadas dos dados existentes; é não enviezada pois procura que a média dos erros (desvios entre o valor real e o valor estimado) seja nula; é a melhor porque os erros de estimação apresentam uma [[variância]] (variância de estimação) mínima. | Considera-se o método de '''Kriging''' do tipo '''BLUE''' ('''B'''est '''L'''inear '''U'''nbiased '''E'''stimator - Melhor Estimador Linear não-Viciado): é linear porque as suas estimativas são combinações lineares ponderadas dos dados existentes; é não enviezada pois procura que a média dos erros (desvios entre o valor real e o valor estimado) seja nula; é a melhor porque os erros de estimação apresentam uma [[variância]] (variância de estimação) mínima. | ||
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*[http://www.nbb.cornell.edu/neurobio/land/OldStudentProjects/cs490-94to95/clang/kriging.html Kriging Interpolation Algorithm in C] | *[http://www.nbb.cornell.edu/neurobio/land/OldStudentProjects/cs490-94to95/clang/kriging.html Kriging Interpolation Algorithm in C] | ||
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Edição atual desde as 09h09min de 16 de janeiro de 2009
Kriging, também muitas vezes traduzido como Krigagem, é um método de regressão usado em geoestatística para aproximar ou interpolar dados. A teoria de Kriging foi desenvolvida a partir dos trabalhos do seu inventor, Daniel G. Krige, pelo matemático francês Georges Matheron, no começo dos anos sessenta. Na comunidade estatística, também é conhecido como “Processo Gaussiano de Regressão”. A estimação com base em apenas um atributo insere-se no âmbito da Kriging; a estimação de um atributo à custa de outros atributos insere-se no âmbito da Cokriging.
Índice
Introdução
Kriging pode ser entendido como uma predição linear ou uma forma da Inferência bayesiana. Parte do princípio que pontos próximos no espaço tendem a ter valores mais parecidos do que pontos mais afastados. A técnica de Kriging assume que os dados recolhidos de uma determinada população se encontram correlacionados no espaço. Isto é, se num aterro de resíduos tóxicos e perigosos a concentração de Zinco num ponto p é x, é muito provável que se encontrem resultados muito próximos de x quanto mais próximos se estiver do ponto p (princípio da geoestatística). Porém, a partir de determinada distância de p, certamente não se encontrarão valores aproximados de x porque a correlação espacial pode deixar de existir.
Considera-se o método de Kriging do tipo BLUE (Best Linear Unbiased Estimator - Melhor Estimador Linear não-Viciado): é linear porque as suas estimativas são combinações lineares ponderadas dos dados existentes; é não enviezada pois procura que a média dos erros (desvios entre o valor real e o valor estimado) seja nula; é a melhor porque os erros de estimação apresentam uma variância (variância de estimação) mínima. O termo Kriging abrange um conjunto de métodos, sendo os mais usuais os seguintes:
Tipos de Kriging
Kriging Simples
Assume que as médias locais são relativamente constantes e de valor muito semelhante à média da população que é conhecida. A média da população é utilizada para cada estimação local, em conjunto com os pontos vizinhos estabelecidos como necessários para a estimação.
Kriging Ordinário
As médias locais não são necessáriamente próximas da média da população usando-se apenas os pontos vizinhos para a estimação. É o método mais usado em problemas ambientais.
Cokriging
É uma extensão do anterior a situações em que duas ou mais variáveis são espacialmente dependentes e a variável que se quer estimar não está amostrada com a intensidade com que estão as outras variáveis dependentes, utilizando-se os valores destas e as suas dependências para estimar a variável requerida.
Conceitos matemáticos
O Método de Kriging utiliza-se de diversas teorias explanadas na estatística. No entanto, para deixarmos mais claras as teorias de estatística usadas e mais direcionadas ao escopo deste texto, explicaremos alguns conceitos.
Semi-variância e semi-variograma
A semi-variância é a medida do grau de dependência espacial entre duas amostras. A magnitude da semi-variância entre dois pontos depende da distância entre eles, implicando em semi-variâncias menores para distâncias menores e semi-variâncias maiores para distâncias maiores. O gráfico das semi-variâncias em função da distância a um ponto é chamado de Semi-variograma. A partir de uma certa distância a semi-variância não mais aumentará com a distância e se estabilizará num valor igual à variância média, dando a esta região o nome de silo (sill). A distância entre o início do semi-variograma e o começo do silo recebe o nome de range. Ao extrapolarmos a curva do semi-variograma para a distância zero, podemos chegar a um valor não-nulo de semi-variância. Este valor recebe o nome de Efeito Pepita (Nugget Effect).
Modelos de Variograma
No Método de Kriging normalmente são usados quatro tipos de variogramas. Neles, são usadas as seguintes variáveis:
- : variância
- : nugget
- : silo
- : variância assintótica
- : distância de separação
Linear
Este modelo não apresenta silo e é muito simples. Sua curva pode ser representada por:
Esférico
A forma esférica é a mais utilizada e possui silo. Sua forma é definida por:
Exponencial
A curva do variograma exponencial respeita a seguinte equação:
Gaussiano
A forma gaussiana é dada por:
O Método de Kriging
Determinação do Semivariograma
Toma-se como base a simulação de um sistema de duas dimensões (2D) que contém um número finito de pontos onde é possível a medição de uma grandeza qualquer. Após a adquisição destes dados, iniciar-se-á a interpolação por Kriging buscando alcançar uma maior resolução. O primeiro passo é construir um semivariograma experimental. Para tal, calcula-se a semivariância de cada ponto em relação aos demais e insere-se no gráfico da semivariância pela distância.
A partir deste gráfico estima-se o modelo de variograma que melhor se aproxima da curva obtida. O efeito pepita pode estar presente no semivariograma experimental e deve ser considerado. Determinado o modelo do semivariograma a ser usado, inicia-se a fase de cálculos. Sendo o semivariograma uma função que depende da direção, é natural que apresente valores diferentes conforme a direção, recebendo este fenômeno o nome de Anisotropia. Caso o semivariograma apresente uma forma semelhante em todas as direções do espaço, só dependendo de h, diz-se que a estrutura é Isotrópica, i. e., sem direções privilegiadas de variabilidade.
Cálculo dos Pesos
Considere, para o cálculo do Kriging, a seguinte fórmula:
onde é o número de amostras obtidas, é o valor obtido no ponto e é o peso designado ao ponto . A fim de obter os pesos de cada um dos pontos, para cada um deles é realizado um cálculo de . Tal procedimento depende do tipo de Kriging que está sendo utilizado. Salienta-se a seguinte notação:
- : peso do j-ésimo ponto
- : valor da semi-variância de
- : variável temporária
Kriging Ordinário
Neste caso é utilizado a média local dos pontos amostrados. Por conseguinte, deve-se normalizar a média dos pesos. Consequentemente, tem-se um resultado mais preciso do que o Kriging Simples. Utilizar-se-ão as seguintes equações para a determinação dos valores dos pesos no p-ésimo ponto:
Kriging Simples
Para este caso, utiliza-se a média de todos os dados. Implica-se, portanto, em não se normalizar a média local dos pesos, como no caso anterior. Assim, teremos quase que a mesma equação, exceto pela exclusão de e pela última equação. A característica principal deste método é a geração de gráficos mais lisos e mais esteticamente suaves. Deve-se salientar que este caso é menos preciso que o caso anterior. Os valores dos pesos para o p-ésimo ponto serão dados por:
Obtendo o Ponto Interpolado
Ao obtermos os valores de , calcula-se o valor de :
Desta maneira, calcula-se o valor interpolado para todos os pontos desejados. Ressalta-se que somente devem ser utilizados os valores adquiridos acima.
Interpolando Outros Pontos
A obtenção do valor interpolado em um outro ponto requer a repetição de todos os cálculos realizados a partir da obtenção do modelo de variograma. Desta forma, para aumentarmos a resolução que é pretendida, deve-se recorrer à métodos matemáticos para a resolução computacional. Diversos códigos foram desenvolvidos para esta resolução, mas um dos melhores algoritmos pode ser obtido no link abaixo. Ele fora desenvolvido inicialmente para a linguagem Fortran, porém ele foi recodificado para C com a ajuda da biblioteca fortran2c e se apresenta totalmente em C:
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