Diferenças entre edições de "Medida"
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:<tex>\delta_{x_0}(E)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x_0\in E\\0,&c.c.\end{array}\right.</tex> | :<tex>\delta_{x_0}(E)=\left\{\begin{array}{ll}1,&x_0\in E\\0,&c.c.\end{array}\right.</tex> | ||
− | *As medidas | + | *As medidas de Borel e de Lebesgue em <tex>\R</tex> verificam a propriedade <tex>\lambda[a,b]=b-a\,\!</tex> |
==Medida complexa== | ==Medida complexa== | ||
− | Uma '''medida complexa''' numa | + | Uma '''medida complexa''' numa σ-algebra ''X'' sobre um conjunto ''S'' é uma função <tex>\mu:X\to\mathbb{C}\,\!</tex> tal que: |
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*<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de ''X'', disjuntos dois a dois. | *<tex> \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)</tex>, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de ''X'', disjuntos dois a dois. | ||
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:<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex> | :<tex>\nu(E):=\int_E f(x)d\mu\,</tex> define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de <tex>\mathbb{R}.</tex> | ||
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Algumas medidas possuem propriedades adicionais: | Algumas medidas possuem propriedades adicionais: | ||
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:Se <tex>Z\,</tex> tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.) | :Se <tex>Z\,</tex> tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.) | ||
===Medida invariante por translações=== | ===Medida invariante por translações=== | ||
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:(contando que a soma esteja bem definida no espaço em questão.) | :(contando que a soma esteja bem definida no espaço em questão.) | ||
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:O espaço inteiro tem medida finita. | :O espaço inteiro tem medida finita. | ||
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:O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita. | :O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita. | ||
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Edição atual desde as 07h55min de 14 de novembro de 2008
Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.
Índice
Medida positiva
Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
- , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.
São consequências directas da definição de medida positiva:
- Positividade:
- Monotonicidade
Exemplos
Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.
- Medida de Dirac:
- As medidas de Borel e de Lebesgue em verificam a propriedade
Medida complexa
Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
- , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.
Exemplos
- Seja uma função complexa Lebesgue integrável. Então
- define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de
Propriedades
Algumas medidas possuem propriedades adicionais:
Medida completa
- Se tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
Medida invariante por translações
- , onde
- (contando que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
Medida de Borel
- Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
Regularidade interior
- e são compactos.
Regularidade exterior
- e são abertos.
Medida finita
- O espaço inteiro tem medida finita.
Medida finita
- O espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
Medida localmente finita
- Todo compacto é mensurável e tem medida finita
- , para todo compacto
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