Diferenças entre edições de "Medida"
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− | *<tex>\mu(E)=\left\{ | + | *<tex>\mu(E)=\left\{\begin{array}{ll} |
− | \begin{array}{ll} | + | 0,&E=\emptyset\\1,&E=S\end{array}\right.</tex> |
− | 0,&E=\emptyset\\ | + | |
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− | \end{array} | + | |
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Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo. | Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo. | ||
*Medida de Dirac: | *Medida de Dirac: | ||
− | :<tex>\delta_{x_0}(E)=\left\{ | + | :<tex>\delta_{x_0}(E)=\left\{\begin{array}{ll} |
− | \begin{array}{ll} | + | 1,&x_0\in E\\0,&c.c.\end{array}\right.</tex> |
− | 1,&x_0\in E\\ | + | |
− | 0,&c.c. | + | |
− | \end{array} | + | |
− | \right.</tex> | + | |
Revisão das 16h56min de 9 de janeiro de 2008
Em matemática, uma medida é uma função que atribui um peso aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.
Medida positiva
Uma medida positiva num σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
- , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Os conjuntos de X chamam-se conjuntos mensuráveis.
São conseqüências diretas da definição de medida postiva:
- Positividade:
- Monotonicidade
Exemplos
-
Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.
- Medida de Dirac:
-
Medida complexa
Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função tal que:
- , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.
Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.
Exemplos
- Seja uma função complexa Lebesgue integrável. Então
- define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de
Propriedades
Algumas medidas possuem propriedades adicionais:
- Medida completa:
- Se tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
- Medida invariante por translações:
- , onde
(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)
- Medida de Borel:
- Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
- Regularidade interior:
- e são compactos.
- Regularidade exterior:
- e são abertos.
- Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.
- Medida finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
- Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita
- , para todo compacto
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